Math 10 - MEAN

Unit circle

Radius को मान 1 भएको, केन्द्र (0,0) भएको circle लाई unit circle भनिन्छ। Trigonometry मा unit circle को ज्यादै महत्व छ। यसैबाट trigonometric ratio, quadrant सम्बन्धि नियम, trigonometric identity पत्ता लगाउन सकिन्छ ।

कोण (0 देखि 360 डिग्रि सम्मको) दिएमा trigonometry का छ वटा standard ratio हरु sin, cos र tan साथै cosec, sec, cot को मान पत्ता लगाउन सकिन्छ ।
trigonometry का छ वटा standard ratio हरुको मान दिएमा त्यसको corresponding कोण पत्ता लगाउन सकिन्छ.
trigonometry सम्बन्धी Quotient, Reciprocal, Co-function, Even-odd, Pythagorean जस्ता identities प्रमाणीत गर्न सकीन्छ ।

Sinθ र cosθ को मान

केन्द्र O को मान O(0,0) भएको, radius (r=OA) को मान 1 भएको circle C मा एउटा moving point (arbitrary point) P(x,y) लिइएको छ, जसले circle को केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर θ डिग्रिको कोण बनाएको छ।
∡AOP=θ
यहा,
the x-coordinate of P(x,y) on the unit circle gives the cosine value of the angle θ. The y-coordinate gives the sine value of the angle θ
OP=r=1
OQ=x=cosθ
PQ=y=sinθ
तसर्थ,
$\sin^2 \theta+\cos^2\theta=1$

बिन्दु P(x,y) लाई चलाउनुहोस र sinθ वा cosθ को मान पत्ता लगाउनुहोस

tanθ र secθ को मान

केन्द्र O को मान O(0,0) भएको, radius (r=OA) को मान 1 भएको circle C मा बिन्दु A बाट circle C मा tangent खिचिएको छ । यस tangent रेखामा एउटा moving point (arbitrary point) P(x,y) लिइएको छ, जसले circle को केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर θ डिग्रिको कोण बनाएको छ।
∡AOP=θ
यहा, त्रिभुज OAP मा,
the segment AP on the triangle OAP gives the tangent value of the angle θ. The segment OP on the triangle OAP gives the secant value of the angle θ
OA=r=1
AP=tanθ
OP=secθ
तसर्थ,
$\sec^2 \theta-\tan^2\theta=1$

बिन्दु P(x,y) लाई चलाउनुहोस र tanθ वा secθ को मान पत्ता लगाउनुहोस

cotθ र cosecθ को मान

केन्द्र O को मान O(0,0) भएको, radius (r=OB) को मान 1 भएको circle C मा बिन्दु B बाट circle C मा tangent खिचिएको छ । यस tangent रेखामा एउटा moving point (arbitrary point) P(x,y) लिइएको छ, जसले circle को केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर θ डिग्रिको कोण बनाएको छ।
∡AOP=θ
यहा, त्रिभुज OBP मा,
the segment BP on the triangle OBP gives the cotangent value of the angle θ. The segment OP on the triangle OBP gives the cosecant value of the angle θ
OB=r=1
BP=cotθ
OP=cosecθ
तसर्थ,
$\csc^2 \theta-\cot^2\theta=1$

बिन्दु P(x,y) लाई चलाउनुहोस र cotθ वा cosecθ को मान पत्ता लगाउनुहोस

The details of Trigonometric ratio and its name

“sine” भन्ने शब्द Latin भाषाको “sinus” भन्ने शब्दबाट ल्याईएको हो जसको अर्थ “bend” or “curve” भन्ने हुन्छ, जसले ग्राफमा sinusoidal or S-wave-like curve बनाउदछ ।
“cosine” भन्ने शब्द Latin भाषाको “cosinus” भन्ने शब्दबाट ल्याईएको हो जसको अर्थ “sine of the complementary angle” भन्ने हुन्छ, जसले ग्राफमा C-wave-like curve बनाउदछ ।
“tangent” भन्ने शब्द Latin भाषाको “tangens” भन्ने शब्दबाट ल्याईएको हो जसको अर्थ “touching” or “to touch” भन्ने हुन्छ, जसले ग्राफमा length of the line segment on tangent (toward-x-axis) लाई जनाउदछ ।
“secant” भन्ने शब्द Latin भाषाको “secare” भन्ने शब्दबाट ल्याईएको हो जसको अर्थ “to cut” or “cutting” भन्ने हुन्छ, जसले unit circle मा बन्ने right-angled triangle मा हुने tangent segment लाई cut गर्ने hypoteneous segment लाई जनाउदछ । (toward x-axis)
“cotangent” भन्ने शब्द Latin भाषाको “cotangens” भन्ने शब्दबाट ल्याईएको हो जँहा “co” को अर्थ “complement” भन्ने हुन्छ, जसले tangent को complement angle लाई जनाउदछ ।
“cosecant” भन्ने शब्द Latin भाषाको “cosecans” भन्ने शब्दबाट ल्याईएको हो जसको अर्थ “the one who cuts” or “the cutter” भन्ने हुन्छ, जसले unit circle मा बन्ने right-angled triangle मा हुने cotangent segment लाई cut गर्ने hypoteneous segment लाई जनाउदछ । (toward y-axis)

Visual Proof of sin(α+β) and cos(α+β)

$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$

केन्द्र O को मान O(0,0) भएको, radius (r=OB) को मान 1 भएको circle C मा रेखा OA ले केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर α कोण र रेखा OB ले केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर β कोण बनाउदछ। बिन्दु B बाट रेखा OA मा लम्ब BA⊥OA खिचिएको छ । अब, बिन्दु O, A र B बाट बन्ने आयात OPQR बनाईएको छ जसमा
Right angled triangle ⊿OAB बाट,
∡AOB=β
OB=1
OA=cosβ
AB=sinβ
Right angled triangle ⊿OAP बाट,
∡AOP=α
OP=cosαcosβ
AP=sinαcosβ
Right angled triangle ⊿AQB बाट,
∡QAB=α
QA=cosαsinβ
QB=sinαsinβ
Right angled triangle ⊿OBR बाट,
∡OBR=α+β
OB=1
BR=cos(α+β)
OR=sin(α+β)
We know that
OR=PA+AQ
or sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
Also, we know that
BR=OP-QB
or cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

Visual Proof of tan(α+β)

$\tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$

केन्द्र O को मान O(0,0) भएको, radius (r=OP) को मान 1 भएको circle C मा रेखा OA ले केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर α कोण र रेखा OB ले केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर β कोण बनाउदछ। बिन्दु A बाट रेखा OB मा लम्ब BA⊥OA खिचिएको छ । अब, बिन्दु O, A र B बाट बन्ने आयात OPQR बनाईएको छ जसमा
Right angled triangle ⊿OAP बाट,
∡AOP=α
OP=1
AP=tanα
OA=secα
Right angled triangle ⊿OAB बाट,
∡AOB=β
OB=tanβsecα
Right angled triangle ⊿AQB बाट,
∡QAB=α
QA=tanβ
QB=tanαtanβ
Right angled triangle ⊿OBR बाट,
∡OBR=α+β
We know that
BR=OP-QB
Therefore
$\tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$

Visual Proof of cot(α+β)

$\cot(\alpha+\beta)= \frac{\cot \alpha \cot \beta-1}{\cot \alpha + \cot \beta}$

केन्द्र Q को मान O(0,0) भएको, radius (r=QB) को मान 1 भएको circle C मा रेखा OA ले बिन्दु O मा धनात्मक दिशातिर α कोण र रेखा OB ले बिन्दु O मा धनात्मक दिशातिर β कोण बनाउदछ। बिन्दु A बाट रेखा OB मा लम्ब BA⊥OA खिचिएको छ । अब, बिन्दु O, A र B बाट बन्ने आयात OPQR बनाईएको छ जसमा
Right angled triangle ⊿AQB बाट,
∡QAB=α
QA=1
AB=cosecα
QB=cotα
Right angled triangle ⊿OAB बाट,
∡AOB=β
OA=cosecαcotβ
Right angled triangle ⊿OAP बाट,
∡AOP=α
OP=cotαcotβ
AP=cotβ
Right angled triangle ⊿OBR बाट,
∡OBR=α+β
We know that
BR=OP-QB=cotαcotβ-1
Therefore
$\cot(\alpha+\beta)= \frac{\cot \alpha \cot \beta-1}{\cot \alpha + \cot \beta}$

Category: Math 10

Unit Circle