Visual Proof of sin(α+β) and cos(α+β)
केन्द्र O को मान O(0,0) भएको, radius (r=OB) को मान 1 भएको circle C मा रेखा OA ले केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर α कोण र रेखा OB ले केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर β कोण बनाउदछ। बिन्दु B बाट रेखा OA मा लम्ब BA⊥OA खिचिएको छ । अब, बिन्दु O, A र B बाट बन्ने आयात OPQR बनाईएको छ जसमा
Right angled triangle ⊿OAB बाट,
∡AOB=β
OB=1
OA=cosβ
AB=sinβ
Right angled triangle ⊿OAP बाट,
∡AOP=α
OP=cosαcosβ
AP=sinαcosβ
Right angled triangle ⊿AQB बाट,
∡QAB=α
QA=cosαsinβ
QB=sinαsinβ
Right angled triangle ⊿OBR बाट,
∡OBR=α+β
OB=1
BR=cos(α+β)
OR=sin(α+β)
We know that
OR=PA+AQ
or sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
Also, we know that
BR=OP-QB
or cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
Visual Proof of tan(α+β)
केन्द्र O को मान O(0,0) भएको, radius (r=OP) को मान 1 भएको circle C मा रेखा OA ले केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर α कोण र रेखा OB ले केन्द्र O मा धनात्मक दिशातिर β कोण बनाउदछ। बिन्दु A बाट रेखा OB मा लम्ब BA⊥OA खिचिएको छ । अब, बिन्दु O, A र B बाट बन्ने आयात OPQR बनाईएको छ जसमा
Right angled triangle ⊿OAP बाट,
∡AOP=α
OP=1
AP=tanα
OA=secα
Right angled triangle ⊿OAB बाट,
∡AOB=β
OB=tanβsecα
Right angled triangle ⊿AQB बाट,
∡QAB=α
QA=tanβ
QB=tanαtanβ
Right angled triangle ⊿OBR बाट,
∡OBR=α+β
We know that
BR=OP-QB
Therefore
Visual Proof of cot(α+β)
केन्द्र Q को मान O(0,0) भएको, radius (r=QB) को मान 1 भएको circle C मा रेखा OA ले बिन्दु O मा धनात्मक दिशातिर α कोण र रेखा OB ले बिन्दु O मा धनात्मक दिशातिर β कोण बनाउदछ। बिन्दु A बाट रेखा OB मा लम्ब BA⊥OA खिचिएको छ । अब, बिन्दु O, A र B बाट बन्ने आयात OPQR बनाईएको छ जसमा
Right angled triangle ⊿AQB बाट,
∡QAB=α
QA=1
AB=cosecα
QB=cotα
Right angled triangle ⊿OAB बाट,
∡AOB=β
OA=cosecαcotβ
Right angled triangle ⊿OAP बाट,
∡AOP=α
OP=cotαcotβ
AP=cotβ
Right angled triangle ⊿OBR बाट,
∡OBR=α+β
We know that
BR=OP-QB=cotαcotβ-1
Therefore